Calculadora del Teorema de Cayley-Hamilton

Antecedentes históricos

El Teorema de Cayley-Hamilton es un resultado fundamental en álgebra lineal, descubierto independientemente por los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton en el siglo XIX. Establece que toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Este teorema es crucial para comprender la teoría de matrices y tiene aplicaciones prácticas en áreas como sistemas de ecuaciones lineales, teoría de control y mecánica cuántica.

Fórmula de cálculo

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que para una matriz \( A \), el polinomio característico \( p_A(\lambda) \) viene dado por:

\[ p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) \]

Donde \( I \) es la matriz identidad, y \( \det \) denota el determinante. La matriz satisface la ecuación:

\[ p_A(A) = 0 \]

Ejemplo de cálculo

Dada una matriz 2x2:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

El polinomio característico es:

\[ \det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 \ -1 & \lambda - 3 \end{pmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3) - (-1)(-1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

La matriz satisface el teorema de Cayley-Hamilton, ya que al sustituir \( A \) en su polinomio característico se obtiene la matriz cero.

Importancia y escenarios de uso

El teorema de Cayley-Hamilton simplifica los cálculos relacionados con funciones matriciales, potencias de matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Tiene aplicaciones en ecuaciones diferenciales lineales, teoría de control y mecánica cuántica, donde se utilizan exponenciales de matrices y funciones similares.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es el polinomio característico?

   • El polinomio característico de una matriz es un polinomio cuyas raíces son los valores propios de la matriz. Se calcula como \( \det(\lambda I - A) \).

2. ¿Cómo ayuda el teorema de Cayley-Hamilton en las aplicaciones prácticas?

   • Permite expresar potencias superiores de una matriz en términos de potencias inferiores, simplificando los cálculos en álgebra lineal, sistemas de control y mecánica cuántica.

3. ¿Se aplica el teorema a todas las matrices?

   • Sí, el teorema de Cayley-Hamilton se aplica a todas las matrices cuadradas, independientemente de su tamaño o del cuerpo sobre el que estén definidas.