Calculadora de la Regla del Trapecio Compuesta

La regla trapezoidal compuesta es un método numérico usado para aproximar la integral de una función sobre un intervalo cerrado \[a, b] dividiéndolo en subintervalos más pequeños. Este método es particularmente efectivo cuando una solución analítica es compleja o inviable.

Antecedentes históricos

La regla trapezoidal tiene raíces que se remontan a las matemáticas de la antigua Grecia, evolucionando hacia un método formal de integración numérica en el cálculo moderno. Es una aplicación del concepto básico de encontrar el área bajo una curva aproximándola con trapecios.

Fórmula de cálculo

Dada una función \( f(x) \), el intervalo \[a, b], y \( n \) subintervalos, la fórmula de la regla trapezoidal compuesta es:

\[ \int{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum{i=1}^{n-1} f(a + i \cdot h) + f(b) \right] \]

Donde \( h = \frac{b - a}{n} \) es el ancho de cada subintervalo.

Ejemplo de cálculo

Para \( f(x) = x^2 \), \( a = 0 \), \( b = 2 \), y \( n = 4 \):

1. \( h = \frac{2 - 0}{4} = 0.5 \)
2. Evaluar la función en los puntos clave:
   • \( f(0) = 0^2 = 0 \)
   • \( f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \)
   • \( f(1) = 1^2 = 1 \)
   • \( f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \)
   • \( f(2) = 2^2 = 4 \)
3. Aplicar la fórmula: \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \approx \frac{0.5}{2} \times \left[ 0 + 2 \times (0.25 + 1 + 2.25) + 4 \right] = 2.6667 \]

Importancia y escenarios de uso

Este método se usa ampliamente en ingeniería, física y modelos financieros donde las funciones son difíciles de integrar analíticamente. La capacidad de aproximar la integral con una precisión controlada lo hace valioso para simulaciones y resolución de problemas en ciencias aplicadas.

Preguntas frecuentes comunes

1. ¿Qué son los subintervalos?

   • Los subintervalos dividen el intervalo \[a, b] en partes más pequeñas e iguales, mejorando la precisión de la aproximación.

2. ¿Cómo mejora la precisión la regla compuesta?

   • Al aplicar la regla trapezoidal sobre múltiples intervalos más pequeños, se reducen los errores, lo que lleva a una mejor aproximación.

3. ¿Cuándo es más efectivo este método?

   • Es efectivo cuando la función es razonablemente suave y se puede evaluar fácilmente en muchos puntos.

Esta calculadora permite aproximar integrales definidas usando la regla trapezoidal compuesta, una herramienta práctica para el análisis matemático y las ciencias aplicadas.