Calculadora de Sucesiones Geométricas

Una secuencia geométrica, o progresión geométrica, es una serie de números donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo y no nulo llamado razón común. Este concepto matemático se utiliza ampliamente en áreas como las finanzas, la física y la aritmética general para calcular patrones de crecimiento, interés compuesto y en el análisis de algoritmos.

Antecedentes históricos

El estudio de las secuencias geométricas se remonta a las civilizaciones antiguas, incluidas los griegos, quienes la utilizaron para diversos diseños arquitectónicos y artísticos. El estudio sistemático de las secuencias geométricas en la forma que se ve hoy comenzó con los matemáticos del período renacentista, quienes formalizaron el concepto y sus aplicaciones en la resolución de problemas.

Fórmula de cálculo

El término n-ésimo de una secuencia geométrica se puede calcular utilizando la fórmula: \[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \] Donde:

• \(a_n\) es el término n-ésimo de la secuencia,
• \(a_1\) es el primer término,
• \(r\) es la razón común,
• \(n\) es el número del término.

La suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica viene dada por: \[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1) \] Y para \(r = 1\): \[ S_n = n \times a_1 \]

Cálculo de ejemplo

Para una secuencia geométrica con el primer término de 6 y una razón común de 5:

• El cálculo del segundo término (\(a_2\)): \[ a_2 = 6 \times 5^{(2-1)} = 30 \]

• El cálculo de la suma de los primeros 2 términos (\(S_2\)): \[ S_2 = \frac{6(1 - 5^2)}{1 - 5} = 36 \]

Importancia y escenarios de uso

Las secuencias geométricas son cruciales en los cálculos financieros para determinar el valor futuro de las inversiones, en la física para calcular las distancias a lo largo del tiempo bajo aceleración constante, y en la informática para analizar la complejidad de los algoritmos.

Preguntas frecuentes comunes

1. ¿Qué sucede si la razón común es 1?

   • La secuencia se vuelve constante, ya que cada término es igual al primer término.

2. ¿Pueden las secuencias geométricas ser decrecientes?

   • Sí, si la razón común está entre 0 y 1, la secuencia disminuye pero permanece positiva.

3. ¿Cómo se manejan las razones comunes negativas?

   • La secuencia alternará entre valores positivos y negativos.

4. ¿Es posible que una secuencia geométrica tenga términos cero o negativos?

   • Sí, si el primer término es cero o cualquier término multiplicado por una razón común negativa.