Calculadora del Coeficiente de Correlación de Muestra R

El coeficiente de correlación muestral (R) es una medida estadística utilizada para determinar la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables. Varía de -1 a 1, donde -1 indica una correlación negativa perfecta, 1 indica una correlación positiva perfecta y 0 indica ausencia de correlación.

Antecedentes históricos

El concepto de correlación fue introducido por primera vez por Sir Francis Galton a finales del siglo XIX. Buscó medir la relación entre diferentes variables, lo que eventualmente llevó al desarrollo del coeficiente de correlación por Karl Pearson, su estudiante. El coeficiente de correlación producto-momento de Pearson se usa ampliamente hoy en día como el "coeficiente de correlación muestral".

Fórmula de cálculo

El coeficiente de correlación muestral (R) entre dos conjuntos de datos \(X\) e \(Y\) se calcula utilizando la siguiente fórmula:

\[ R = \frac{n\sum{XY} - \sum{X}\sum{Y}}{\sqrt{\left(n\sum{X^2} - (\sum{X})^2\right) \left(n\sum{Y^2} - (\sum{Y})^2\right)}} \]

Donde:

• \(n\) es el número de puntos de datos.
• \(\sum{X}\) y \(\sum{Y}\) son las sumas de los valores \(X\) e \(Y\), respectivamente.
• \(\sum{XY}\) es la suma de los productos de los valores correspondientes \(X\) e \(Y\).
• \(\sum{X^2}\) y \(\sum{Y^2}\) son las sumas de los cuadrados de los valores \(X\) e \(Y\).

Ejemplo de cálculo

Considere dos conjuntos de datos:

• \(X = [1, 2, 3, 4]\)
• \(Y = [2, 4, 6, 8]\)

Cálculo paso a paso:

1. \(\sum{X} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)
2. \(\sum{Y} = 2 + 4 + 6 + 8 = 20\)
3. \(\sum{XY} = (1 \times 2) + (2 \times 4) + (3 \times 6) + (4 \times 8) = 60\)
4. \(\sum{X^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30\)
5. \(\sum{Y^2} = 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 120\)
6. Aplicar la fórmula:

\[ R = \frac{4(60) - (10)(20)}{\sqrt{(4(30) - (10)^2) \cdot (4(120) - (20)^2)}} = 1 \]

Esto indica una correlación positiva perfecta.

Importancia y escenarios de uso

• Análisis de datos: Se utiliza comúnmente para medir las relaciones entre diferentes variables en campos como las finanzas, la biología y las ciencias sociales.
• Modelado predictivo: En el análisis predictivo, la correlación ayuda a evaluar qué variables podrían tener poder predictivo sobre otras.
• Investigación experimental: Ayuda a los científicos a determinar la fuerza de las relaciones entre variables en experimentos controlados.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es un buen valor para R? Un valor cercano a 1 o -1 indica una correlación fuerte, mientras que los valores cercanos a 0 sugieren una correlación débil o nula.

2. ¿Puede R ser mayor que 1 o menor que -1? No, R siempre está entre -1 y 1.

3. ¿Una alta correlación implica causalidad? No, la correlación no implica causalidad. Solo indica que dos variables se mueven juntas.