Fórmula de Stirling: una aproximación para factoriales

La fórmula de Stirling es una poderosa herramienta en matemática y estadística, que ofrece una aproximación conveniente para el factorial de números grandes. Recibe su nombre del matemático escocés James Stirling, quien presentó esta aproximación a principios del siglo XVIII.

Antecedentes históricos

La función factorial, designada como \(n!\), es el producto de todos los enteros positivos hasta \(n\). Para grandes valores de \(n\), calcular \(n!\) directamente puede resultar poco práctico debido al rápido crecimiento de la función factorial. La fórmula de Stirling ofrece una solución al aproximar \(n!\) con una fórmula que es mucho más fácil de calcular para grandes números.

Fórmula de cálculo

La fórmula de aproximación de Stirling se expresa como:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

donde:

• \(n\) es el número entero positivo para el cual se aproxima el factorial,
• \(e\) es la base del logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Cálculo de ejemplo

Para aproximar el factorial de 10 usando la fórmula de Stirling:

\[ 10! \approx \sqrt{2\pi \times 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx 3628800 \]

El valor real de \(10!\) es 3.628.800, demostrando la precisión de la fórmula de Stirling incluso para valores relativamente pequeños de \(n\).

Importancia y escenarios de uso

La fórmula de Stirling es particularmente útil en estadística, combinatoria y termodinámica, donde los factoriales aparecen con frecuencia, pero son engorrosos de calcular directamente para grandes números. También se utiliza en algoritmos y métodos computacionales que requieren cálculos factoriales.

Preguntas frecuentes comunes

1. ¿Qué tan precisa es la aproximación de Stirling?

   • La precisión mejora con valores más grandes de \(n\). Para valores pequeños, la aproximación puede no ser muy cercana, pero converge rápidamente al valor real a medida que \(n\) aumenta.

2. ¿Se puede usar la fórmula de Stirling para pequeños valores de \(n\)?

   • Si bien puede utilizarse, el cálculo directo o las tablas de búsqueda son más precisos para pequeños valores de \(n\). La fórmula de Stirling brilla para valores grandes de \(n\) donde el cálculo directo es inviable.

3. ¿Hay correcciones para mejorar la precisión de la fórmula de Stirling?

   • Sí, hay versiones refinadas de la fórmula que incluyen términos adicionales para mejorar la precisión para valores más pequeños de \(n\).

La fórmula de Stirling une el cálculo práctico y el análisis teórico, permitiendo aproximaciones eficientes de valores factoriales críticos en varios campos científicos y de ingeniería.