Calculadora vectorial de producto cruz

El producto vectorial o interno también conocido como producto cruz o producto vectorial es una operación binaria en dos vectores en un espacio tridimensional. Su efecto es producir un vector perpendicular a ambos vectores multiplicados conjuntamente y, por lo tanto, normal al plano que los contiene.

Antecedentes históricos

El concepto de producto vectorial se introdujo como parte del cálculo vectorial en el siglo XIX. Es una herramienta indispensable en física e ingeniería para describir efectos rotacionales, campos magnéticos y eléctricos y la orientación de objetos tridimensionales.

Fórmula de cálculo

El producto vectorial de dos vectores \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \) y \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \) se obtiene mediante:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

Ejemplo de cálculo

Para los vectores \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \) y \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \), el producto vectorial es:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

Importancia y escenarios de uso

El producto vectorial se utiliza ampliamente en física e ingeniería para determinar el par de una fuerza, la fuerza magnética sobre una partícula cargada y para muchas otras aplicaciones donde es necesario determinar el vector perpendicular a un plano definido por dos vectores.

Preguntas frecuentes habituales

1. ¿Qué nos dice el producto vectorial?

   • El producto vectorial proporciona información sobre el vector perpendicular al plano formado por los dos vectores. Su magnitud es proporcional al área del paralelogramo que abarcan los vectores.

2. ¿Es el producto vectorial conmutativo?

   • No, el producto vectorial no es conmutativo. \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) no es igual a \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \); de hecho, \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \).