Réponse en fréquence du filtre passe-haut de Butterworth

Le filtre passe-haut de Butterworth est un type de filtre de traitement du signal conçu pour avoir une réponse en fréquence plate dans la bande passante. Sa principale caractéristique est la transition douce et monotone de la bande passante à la bande d'arrêt, ce qui le rend utile dans les applications nécessitant une distorsion minimale du signal dans la bande passante. Les paramètres clés pour la conception d'un filtre passe-haut de Butterworth sont la fréquence de coupure et l'ordre du filtre.

Contexte historique

Le filtre de Butterworth a été introduit par l'ingénieur britannique Stephen Butterworth dans son article de 1930, "On the Theory of Filter Amplifiers". Il visait à créer un filtre avec une réponse en fréquence aussi plate que possible dans sa bande passante.

Formule de calcul

La réponse en fréquence \( H(\omega) \) d'un filtre passe-haut de Butterworth est donnée par :

\[ H(\omega) = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{\omega_c}{\omega}\right)^{2N}}} \]

Où :

• \( \omega \) est la fréquence angulaire du signal d'entrée.
• \( \omega_c \) est la fréquence angulaire de coupure.
• \( N \) est l'ordre du filtre.

Calcul d'exemple

Pour un filtre passe-haut de Butterworth avec une fréquence de coupure de 100 Hz et un ordre de 2, la réponse en fréquence à différentes fréquences peut être calculée comme suit :

1. Fréquence de coupure \( f_c = 100 \) Hz, donc \( \omega_c = 2 \pi \times 100 \) radians/seconde.
2. À \( f = 50 \) Hz, \( \omega = 2 \pi \times 50 \) : \[ H(50) = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{2 \pi \times 100}{2 \pi \times 50}\right)^{4}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 16}} = 0.2425 \]
3. À \( f = 200 \) Hz, \( \omega = 2 \pi \times 200 \) : \[ H(200) = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{2 \pi \times 100}{2 \pi \times 200}\right)^{4}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 0.0625}} = 0.9844 \]

Importance et scénarios d'utilisation

Les filtres passe-haut de Butterworth sont largement utilisés dans le traitement audio, les communications et les systèmes de contrôle où une bande passante lisse et plate est souhaitée. Ils sont essentiels pour éliminer le bruit basse fréquence et améliorer la qualité du signal.

FAQ courantes

1. Qu'est-ce qu'un filtre passe-haut ?

   • Un filtre passe-haut permet aux signaux avec des fréquences supérieures à une certaine fréquence de coupure de passer, tout en atténuant les signaux avec des fréquences inférieures à la fréquence de coupure.

2. Quel est l'ordre d'un filtre de Butterworth ?

   • L'ordre d'un filtre de Butterworth détermine la pente de la réponse du filtre près de la fréquence de coupure. Les filtres d'ordre supérieur ont une transition plus nette entre la bande passante et la bande d'arrêt.

3. Pourquoi utiliser un filtre de Butterworth ?

   • Les filtres de Butterworth sont utilisés pour leur réponse maximally flat dans la bande passante, ce qui signifie qu'ils n'ont pas d'ondulations dans la bande passante et fournissent une réponse en fréquence lisse.

En utilisant cette calculatrice, les utilisateurs peuvent déterminer la réponse en fréquence d'un filtre passe-haut de Butterworth, ce qui aide à la conception et à l'analyse des systèmes électroniques et de traitement du signal.