Convertisseur de coordonnées cartésiennes 3D en coordonnées sphériques 3D

La conversion de coordonnées de cartésiennes 3D à sphériques 3D est une opération fondamentale dans divers domaines comme la physique, les mathématiques et l'infographie. Cette transformation nous permet de comprendre et de représenter les points dans l'espace avec une approche différente, en mettant l'accent sur les distances radiales et les angles plutôt que sur les distances franches le long des axes.

Contexte historique

Le système cartésien, attribué à René Descartes, simplifie la représentation des figures géométriques et des équations algébriques. Le système de coordonnées sphériques, qui a été développé au fil des siècles, offre un moyen plus complexe mais plus perspicace de voir les espaces 3D, en particulier dans les domaines impliquant des corps sphériques ou la symétrie radiale.

Formule de calcul

Pour convertir un point à partir des coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\) en coordonnées sphériques \((r, θ, Φ)\), les formules suivantes sont utilisées :

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] \[ θ = \arctan2\left(\sqrt{x^2 + y^2}, z\right) \times \frac{180}{π} \] \[ Φ = \arctan2(y, x) \times \frac{180}{π} \]

Exemple de calcul

Pour un point avec des coordonnées cartésiennes \(x = 3\), \(y = 4\), et \(z = 5\):

• Rayon \(r = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7,071\)
• Thêta \(θ = \arctan2(\sqrt{3^2 + 4^2}, 5) \times \frac{180}{π} \approx 45,0°\)
• Phi \(Φ = \arctan2(4, 3) \times \frac{180}{π} \approx 53,13°\)

Importance et scénarios d'utilisation

Les coordonnées sphériques sont essentielles dans les scénarios où la symétrie radiale est un facteur, comme en astronomie, en électromagnétisme et en infographie 3D. Elles simplifient les équations et les calculs pour les sphères, les orbites et les champs rayonnant depuis un point.

FAQ courantes

1. Pourquoi convertir en coordonnées sphériques ? 

   • Les coordonnées sphériques sont particulièrement utiles pour les problèmes impliquant des sphères, des cercles et des angles à partir d'un point central, simplifiant ainsi les mathématiques dans de nombreux cas.

2. Comment interpréter θ et Φ ? 

   • θ (thêta) est l'angle entre l'axe z positif et le point, et Φ (phi) est l'angle entre l'axe x positif et la projection du point dans le plan xy.

3. Ces formules peuvent-elles être utilisées pour n'importe quel point dans l'espace 3D ? 

   • Oui, n'importe quel point dans l'espace 3D peut être représenté en coordonnées sphériques, bien que des ajustements puissent être nécessaires pour différentes conventions