Calculatrice pour compléter le carré

Compléter le carré est une technique utilisée en algèbre pour résoudre les équations du second degré. Cette méthode transforme une équation du second degré en un trinôme carré parfait, le rendant plus facile à résoudre. L'approche est particulièrement utile pour les équations qui ne se factorisent pas facilement et pour dériver la formule quadratique.

Contexte historique

La méthode de complétion du carré remonte aux anciens mathématiciens, qui utilisaient des preuves géométriques pour résoudre les équations du second degré. Cette technique a été développée davantage au Moyen Âge, contribuant de manière significative aux solutions algébriques que nous utilisons aujourd'hui.

Formule de calcul

Pour compléter le carré de l'équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\), nous suivons ces étapes :

1. Divisez tous les termes par \(a\) (si \(a \neq 1\)).
2. Réarrangez l'équation pour former \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\).
3. Ajoutez \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) aux deux membres pour compléter le carré.
4. L'équation devient maintenant \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}\).
5. Résolvez pour \(x\).

Exemple de calcul

Soit l'équation du second degré \(2x^2 + 8x + 6 = 0\), la complétion du carré impliquerait les étapes suivantes :

1. Divisez par \(2\): \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
2. Ajoutez \(\left(\frac{4}{2}\right)^2 - 3\) aux deux membres : \(x^2 + 4x + 4 = 1\).
3. Réécrivez sous forme de carré parfait : \((x + 2)^2 = 1\).
4. Résolvez pour \(x\): \(x + 2 = \pm 1\), donc \(x_1 = -1\) et \(x_2 = -3\).

Importance et scénarios d'utilisation

Compléter le carré est crucial pour résoudre les équations du second degré, analyser les fonctions du second degré et comprendre les propriétés des paraboles. C'est également fondamental pour dériver la formule quadratique et est fréquemment utilisé en calcul et en physique.

FAQ courantes

1. Pourquoi compléter le carré ?

   • Il fournit un moyen systématique de résoudre toute équation du second degré et est essentiel pour comprendre la structure de ces équations.

2. La complétion du carré peut-elle résoudre toutes les équations du second degré ?

   • Oui, il peut résoudre toute équation du second degré, y compris celles avec des solutions complexes.

3. Que se passe-t-il si le coefficient de \(x^2\) n'est pas 1 ?

   • Divisez l'équation entière par le coefficient de \(x^2\) pour simplifier le processus de complétion du carré.

Cette calculatrice rationalise le processus de complétion du carré, le rendant plus accessible aux étudiants, aux éducateurs et à toute personne intéressée par l'algèbre.