Calculateur de la limite d'erreur (règle de Simpson)

Contexte historique

La règle de Simpson est une méthode numérique utilisée pour approcher l'intégrale d'une fonction, fournissant une meilleure estimation que la règle trapézoïdale plus simple. Ses origines remontent à Thomas Simpson, un mathématicien britannique du XVIIIe siècle. Une borne d'erreur permet d'identifier la limite supérieure de l'erreur potentielle lors de l'approximation de l'intégrale en utilisant la règle de Simpson.

Formule

La formule de la borne d'erreur pour la règle de Simpson est :

\[ n > \frac{(b - a)^5 \cdot M}{180^{1/4}} \]

où :

• \(n\) est la borne d'erreur,
• \(a\) est la borne inférieure,
• \(b\) est la borne supérieure,
• \(M\) est la valeur maximale de la quatrième dérivée de la fonction sur \([a, b]\).

Exemple de calcul

Étant donné les valeurs suivantes :

• Borne supérieure (b) : 4
• Borne inférieure (a) : 1
• Puissance de la fonction approchée (M) : 3

Le calcul de la borne d'erreur est le suivant :

\[ n > \frac{(4 - 1)^5 \cdot 3}{180^{1/4}} \approx 1.4186 \]

FAQ courantes

1. À quoi sert la règle de Simpson ?

   • La règle de Simpson est utilisée pour approcher l'intégrale définie d'une fonction lorsque trouver l'intégrale exacte est difficile ou impossible analytiquement.

2. Qu'est-ce qu'une borne d'erreur, et pourquoi est-elle importante ?

   • Une borne d'erreur fournit une estimation de l'erreur maximale possible lors de l'approximation d'une fonction à l'aide d'une méthode numérique. Elle permet d'évaluer la précision de l'approximation.

3. Pourquoi la quatrième dérivée est-elle utilisée dans la formule de la borne d'erreur ?

   • La quatrième dérivée permet de quantifier dans quelle mesure la courbure de la fonction change. La règle de Simpson implique d'approcher la fonction avec un polynôme qui correspond étroitement à la courbure de la fonction.

4. La règle de Simpson fournit-elle une solution exacte ?

   • Non, elle fournit une approximation, mais elle est généralement plus précise que la règle trapézoïdale, en particulier pour les fonctions qui sont lisses et continues sur l'intervalle.