Réponse impulsionnelle idéale d'un filtre passe-haut

Réponse impulsionnelle idéale d'un filtre passe-haut

Un filtre passe-haut idéal laisse passer les fréquences supérieures à une certaine fréquence de coupure tout en atténuant les fréquences inférieures à la fréquence de coupure. La réponse impulsionnelle d'un filtre passe-haut idéal est dérivée de la transformée de Fourier inverse de sa réponse en fréquence.

Formule de calcul

La réponse impulsionnelle \( h(n) \) d'un filtre passe-haut idéal peut être définie comme suit :

\[ h(n) = \begin{cases} 1 - 2f_c & \text{si } n = 0 \ -\frac{\sin(2\pi f_c n)}{\pi n} & \text{si } n \neq 0 \end{cases} \]

Où :

• \( f_c \) est la fréquence de coupure normalisée (fréquence de coupure divisée par la fréquence d'échantillonnage).
• \( n \) est l'indice d'échantillon, allant de \( -(N-1)/2 \) à \( (N-1)/2 \) pour un filtre avec \( N \) points.

Exemple de calcul

Si la fréquence de coupure est de 1000 Hz et la fréquence d'échantillonnage est de 10 000 Hz, la fréquence de coupure normalisée \( f_c \) est de 0,1. La réponse impulsionnelle peut être calculée pour \( N = 51 \) points comme suit :

Pour \( n = 0 \) : \[ h(0) = 1 - 2 \times 0,1 = 0,8 \]

Pour \( n \neq 0 \) : \[ h(n) = -\frac{\sin(2\pi \times 0,1 \times n)}{\pi n} \]

Importance et utilisation

Le filtre passe-haut idéal est largement utilisé dans le traitement du signal pour supprimer les composantes basses fréquences d'un signal. Cela peut être utile dans diverses applications telles que le traitement audio, les systèmes de communication et le traitement d'images où il est essentiel d'éliminer le bruit ou les interférences indésirables à basse fréquence.