Calculatrice en batch en ligne inverse de la fonction tangente hyperbolique

La fonction tangente hyperbolique réciproque, notée \( \text{artanh}(x) \), est une fonction mathématique fondamentale qui étend le concept de la fonction tangente réciproque au domaine hyperbolique. Contrairement aux fonctions arc trigonométriques liées aux arcs de cercle, dans les fonctions hyperboliques le préfixe « ar » désigne « aire », ce qui reflète la définition de l'angle hyperbolique par l'aire d'un secteur de l'hyperbole.

Contexte historique

Les fonctions hyperboliques remontent aux travaux des mathématiciens du XVIIe siècle, qui étudiaient la relation entre les secteurs hyperboliques et la croissance de certaines fonctions. Plus tard, les fonctions hyperboliques inverses ont été définies comme des opérations inverses de ces fonctions hyperboliques. Elles fournissent des outils indispensables dans plusieurs branches des mathématiques, dont le calcul et l'analyse des complexes.

Formule de calcul

La tangente hyperbolique inverses d'un nombre \( x \) est donnée par la formule suivante :

\[ \text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]

où \( \ln \) représente le logarithme naturel et \(x\) est tout nombre réel compris strictement entre -1 et 1.

Calcul de l'exemple

Avec une valeur de départ \(0,5\), la valeur de tangente hyperbolique réciproque est calculée de la manière suivante :

\[ \text{artanh}(0,5) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + 0,5}{1 - 0,5}\right) \approx 0,549306 \]

Importance et exemples d'utilisation

La fonction de tangente hyperbolique réciproque est cruciale pour résoudre les problèmes relatifs à la géométrie hyperbolique, calculer les rapides en relativité restreinte et résoudre certaines équations différentielles. On l'applique à l'ingénierie, la physique et d'autres sciences qui impliquent les relations hyperboliques.

FAQ courantes

1. Quelle est la portée de la fonction de tangente hyperbolique réciproque ?

   • La portée de \( \text{artanh}(x) \) concerne tous les nombres réels, alors que \( x \) tend de -1 à 1.

2. La fonction de tangente hyperbolique réciproque peut-elle gérer les nombres complexes ?

   • Oui, la définition de \( \text{artanh}(x) \) s'étend aux nombres complexes, ce qui offre une plus large gamme d'applications dans l'analyse complexe.

3. Quel est le rapport entre la fonction tangente hyperbolique réciproque et les logarithmes ?

   • Cette fonction peut s'exprimer en termes de logarithmes naturels, ce qui indique un lien étroit entre les fonctions hyperboliques et les motifs de croissance exponentielle.

Cette calculatrice rationalise le calcul des tangentes hyperboliques réciproques, pour des valeurs simples comme par lots. Elle est un outil précieux pour les étudiants, les professeurs et les professionnels dans divers domaines.