Formule de Stirling : une approximation des factorielles

La formule de Stirling est un outil puissant en mathématiques et en statistiques, fournissant une approximation pratique de la factorielle des nombres importants. Elle est nommée d'après le mathématicien écossais James Stirling, qui introduisit cette approximation au début du XVIIIe siècle.

Contexte historique

La fonction factorielle, notée \(n!\), est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à \(n\). Pour des valeurs importantes de \(n\), le calcul direct de \(n!\) peut s'avérer impraticable en raison de la croissance rapide de la fonction factorielle. La formule de Stirling offre une solution en approximant \(n!\) avec une formule beaucoup plus facile à calculer pour des nombres importants.

Formule de calcul

La formule d'approximation de Stirling est exprimée comme suit :

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

où :

• \(n\) est l'entier positif pour lequel la factorielle est approximée,
• \(e\) est la base du logarithme naturel, approximativement égale à 2,71828.

Exemple de calcul

Pour approximer la factorielle de 10 à l'aide de la formule de Stirling :

\[ 10! \approx \sqrt{2\pi \times 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx 3628800 \]

La valeur réelle de \(10!\) est 3 628 800, ce qui démontre la précision de la formule de Stirling, même pour des valeurs relativement petites de \(n\).

Importance et scénarios d'utilisation

La formule de Stirling est particulièrement utile en statistiques, combinatoire et thermodynamique, où les factorielles apparaissent fréquemment mais sont difficiles à calculer directement pour des nombres importants. Elle est également utilisée dans les algorithmes et les méthodes de calcul qui nécessitent des calculs factoriels.

FAQ courantes

1. Quelle est la précision de l'approximation de Stirling ?

   • La précision s'améliore avec des valeurs plus importantes de \(n\). Pour les petites valeurs, l'approximation peut ne pas être très proche, mais elle converge rapidement vers la valeur réelle à mesure que \(n\) augmente.

2. La formule de Stirling peut-elle être utilisée pour les petites valeurs de \(n\)?

   • Bien qu'elle puisse être utilisée, le calcul direct ou les tables de consultation sont plus précis pour les petits \(n\). La formule de Stirling est idéale pour les grands \(n\) où le calcul direct est impossible.

3. Existe-t-il des corrections pour améliorer la précision de la formule de Stirling ?

   • Oui, il existe des versions affinées de la formule qui incluent des termes supplémentaires pour améliorer la précision pour les petites valeurs de \(n\).

La formule de Stirling relie le calcul pratique et l'analyse théorique, permettant des approximations efficaces des valeurs factorielles essentielles dans divers domaines scientifiques et techniques.