Calculateur de produit vectoriel

Le produit vectoriel, également appelé produit extérieur, est une opération binaire portant sur deux vecteurs dans un espace à trois dimensions. Son résultat est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs multipliés et donc normal au plan formé par ces deux vecteurs.

Contexte historique

Le concept de produit vectoriel a été introduit dans le cadre du calcul vectoriel au XIXe siècle. C'est un outil crucial en physique et en ingénierie pour décrire les effets rotationnels, les champs magnétiques et électriques et l'orientation des objets tridimensionnels.

Formule de calcul

Le produit vectoriel de deux vecteurs \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \) et \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \) est donné par :

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

Exemple de calcul

Pour les vecteurs \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \) et \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \), le produit vectoriel est :

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

Importance et scénarios d'utilisation

Le produit vectoriel est largement utilisé en physique et en ingénierie pour déterminer le couple d'une force, la force magnétique sur une particule chargée et dans de nombreuses autres applications où il est nécessaire de déterminer le vecteur perpendiculaire à un plan défini par deux vecteurs.

FAQ courantes

1. Que nous apprend le produit vectoriel ?

   • Le produit vectoriel fournit des informations sur le vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs. Sa norme est proportionnelle à l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs.

2. Le produit vectoriel est-il commutatif ?

   • Non, le produit vectoriel n'est pas commutatif. \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) n'est pas égal à \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \) ; en fait, \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \).