ケイリー・ハミルトンの定理計算機

履歴背景

ケイリー・ハミルトンの定理は線形代数学における基本的な結果であり、19世紀にアーサー・ケイリーとウィリアム・ハミルトンによって独立に発見された。これは、全ての正方行列が自身の特性方程式を満たすことを述べている。この定理は行列理論の理解に不可欠であり、連立一次方程式、制御理論、量子力学などの分野で実際的な応用がある。

計算式

ケイリー・ハミルトンの定理は、行列Aの特性多項式pA(λ)が以下で与えられると主張する。

\[ p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) \]

ここで、Iは単位行列であり、detは行列式を表す。行列は次の式を満たす。

\[ p_A(A) = 0 \]

例題計算

2×2行列が与えられたとする。

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

特性多項式は次の通りである。

\[ \det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 \ -1 & \lambda - 3 \end{pmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3) - (-1)(-1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

Aをその特性多項式に代入すると零行列が得られるため、この行列はケイリー・ハミルトンの定理を満たす。

重要性と使用例

ケイリー・ハミルトンの定理は、行列関数、行列の累乗、連立一次方程式の解法に関する計算を簡素化する。線形微分方程式、制御理論、量子力学において、行列の指数関数や同様の関数が用いられる場面で応用がある。

よくある質問

1. 特性多項式とは何か？

   • 行列の特性多項式とは、その根が行列の固有値である多項式である。それはdet(λI - A)として計算される。

2. ケイリー・ハミルトンの定理は実際的な応用においてどのように役立つのか？

   • それは行列の高次の累乗を低次の累乗で表現することを可能にし、線形代数、制御システム、量子力学における計算を簡素化する。

3. この定理は全てに行列に適用されるのか？

   • はい、ケイリー・ハミルトンの定理は、そのサイズや定義されている体に関わらず、全ての正方行列に適用される。