円の中心計算ツール

円の中心計算ツールは、円周上の3点を与えられた場合に円の中心を決定するために設計されています。これは幾何学や数学において重要なツールであり、特に円を研究したり、外接円を含む問題を解く必要がある場合に役立ちます。

歴史的背景

円周上の点から円の中心を決定するという問題は、古典幾何学に起源を持ちます。ユークリッドのような古代ギリシャの数学者は、様々な与えられた要素に基づいて中心を見つけることを含め、円の性質を探究しました。円上の異なる点間の関係を理解することは、幾何学の初期の発展に不可欠でした。

計算式

3つの非共線上の点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)を通る円の中心を見つける一般的なアプローチは、これらの点によって形成される弦の垂直二等分線を解くことに基づいています。公式は行列式と代数を使って導き出されます。

\[ a = x_1 \times (y_2 - y_3) + x_2 \times (y_3 - y_1) + x_3 \times (y_1 - y_2) \]

\[ X = \frac{(x_1^2 + y_1^2) \times (y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2) \times (y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2) \times (y_1 - y_2)}{2a} \]

\[ Y = \frac{(x_1^2 + y_1^2) \times (x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2) \times (x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2) \times (x_2 - x_1)}{2a} \]

計算例

3点(1, 2), (4, 6), (5, 3)が与えられたとします。これらの値を式に代入すると:

• \(a = 1 \times (6 - 3) + 4 \times (3 - 2) + 5 \times (2 - 6) = -9\)
• \(X = \frac{(1^2 + 2^2) \times (6 - 3) + (4^2 + 6^2) \times (3 - 2) + (5^2 + 3^2) \times (2 - 6)}{2a} = 3\)
• \(Y = \frac{(1^2 + 2^2) \times (5 - 4) + (4^2 + 6^2) \times (1 - 5) + (5^2 + 3^2) \times (4 - 1)}{2a} = 2\)

したがって、円の中心は(3, 2)にあります。

重要性と使用例