尖度係数計算機

履歴背景

尖度（くっしゃくど）は、ギリシャ語の「kurtos」（湾曲した、アーチ状のという意味）に由来し、20世紀初頭にカール・ピアソンによって導入されて以来、統計学における基本的な概念となっています。分布の裾野を理解するのに役立ち、外れ値の存在を示します。正規分布に対する分布の「尖り」または「平坦さ」は、金融、気象学、品質管理などの分野で重要な意味を持つ可能性があります。

計算式

データセットの尖度係数（超過尖度）は、次の式で与えられます。

\[ 尖度 = \frac{n \sum_{i=1}^{n} (xi - \bar{x})^4}{(\sum{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2)^2} - 3 \]

ここで：

• \( n \) はデータポイントの数です。
• \( x_i \) は個々のデータポイントを表します。
• \( \bar{x} \) はデータポイントの平均です。
• 3を引くことで、正規分布の尖度を調整し、「超過尖度」を提供します。

計算例

データセット：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 を考えます。

1. 平均(\( \bar{x} \)) = 5。
2. 分散 = \(\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 6.6667\)。
3. 標準偏差 = \(\sqrt{6.6667} = 2.58\)。
4. 4次モーメント = \(\frac{1}{n} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{std_dev}\right)^4 = 1.8\)。
5. 超過尖度 = 1.8 - 3 = -1.2。

したがって、このデータセットの尖度係数は-1.2であり、正規分布よりも平坦な分布（低尖度）を示しています。

重要性と使用例

尖度は、特に金融、リスク管理、品質管理における統計分析において重要です。データセットにおける外れ値の存在を評価し、極値が期待されるか（高尖度）、データの裾が軽いか（低尖度）を示します。この情報は、株価分析、保険リスク、プロセス最適化など、データ分布の理解が不可欠な分野での意思決定を導くことができます。

よくある質問

1. 尖度と歪度の違いは何ですか？

   • 尖度は分布の裾と尖りを測定するのに対し、歪度は非対称性を測定します。正の尖度は重い裾を示し、正の歪度はより長い右裾を示します。

2. 高い尖度の値は何を示していますか？

   • 高い尖度の値（0より大きい）は、重い裾または外れ値を持つ分布を示しています。これは、高尖度分布として知られています。

3. 尖度の式で3を引くのはなぜですか？

   • 3を引くことで「超過尖度」が得られ、尖度が3である正規分布からのずれを示す指標が調整されます。

4. 尖度は負になる可能性がありますか？

   • はい、負の尖度は、正規分布よりも平坦な分布を示しており、低尖度分布として知られています。