平方完成計算機

平方完成は、二次方程式を解くために代数で使用されるテクニックです。この方法は二次方程式を完全平方三項式に変形して、解きやすくします。この手法は、簡単に因数分解できない方程式や、二次方程式の解の公式を導出するのに特に役立ちます。

歴史的背景

平方完成の手法は、二次方程式を解くために幾何学的証明を使用した古代数学者にまでさかのぼります。このテクニックは中世にさらに発展し、現在私たちが使用している代数的解法に大きく貢献しました。

計算式

二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の平方完成を行うには、以下の手順に従います。

1. すべての項を \(a\) で割ります (ただし \(a \neq 1\))。
2. 方程式を \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\) の形に変換します。
3. 両辺に \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) を加えて平方完成します。
4. この方程式は、\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}\) になります。
5. \(x\) について解きます。

計算例

二次方程式 \(2x^2 + 8x + 6 = 0\) が与えられた場合、平方完成には以下のような手順が必要です。

1. 2 で割る: \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
2. 両辺に \(\left(\frac{4}{2}\right)^2 - 3\) を加える: \(x^2 + 4x + 4 = 1\).
3. 完全平方として書き直す: \((x + 2)^2 = 1\).
4. \(x\) について解く: \(x + 2 = \pm 1\)、したがって \(x_1 = -1\) および \(x_2 = -3\)

重要性と使用シナリオ

平方完成は二次方程式を解いたり、二次関数を解析したり、放物線の性質を理解したりするために重要です。また、二次方程式の解の公式を導き出すための基礎にもなり、微積分や物理でよく使用されます。

一般的な FAQ

1. なぜ平方完成を行うのでしょうか？

   • 二次方程式を解くための体系的な方法を提供し、これらの方程式の構造を理解するために不可欠です。

2. 平方完成はすべての二次方程式を解けますか？

   • はい、複素数の解を含む二次方程式も解けます。

3. \(x^2\) の係数が 1 でない場合はどうなりますか？

   • 平方完成のプロセスを簡略化するために、方程式全体を \(x^2\) の係数で割ります。

この計算機は平方完成のプロセスを効率化し、学生、教育者、代数に興味のあるすべての人がアクセスしやすくなっています。