複合台形公式計算機

合成台形公式は、閉区間\[a, b]上の関数の積分をより小さな小区間に分割することで近似する数値解法です。解析解が複雑または不可能な場合に特に有効です。

歴史的背景

台形公式の起源は古代ギリシャの数学に遡り、現代の微積分学において正式な数値積分法へと発展しました。曲線下の面積を台形で近似するという基本概念の応用です。

計算公式

関数f(x)、区間\[a, b]、n個の小区間が与えられた場合、合成台形公式は次のようになります。

\[ \int{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum{i=1}^{n-1} f(a + i \cdot h) + f(b) \right] \]

ここで、h = (b - a)/n は各小区間の幅です。

計算例

f(x) = x²、a = 0、b = 2、n = 4の場合：

1. h = (2 - 0)/4 = 0.5
2. 主要点における関数の評価：
   • f(0) = 0² = 0
   • f(0.5) = (0.5)² = 0.25
   • f(1) = 1² = 1
   • f(1.5) = (1.5)² = 2.25
   • f(2) = 2² = 4
3. 公式の適用： \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \approx \frac{0.5}{2} \times \left[ 0 + 2 \times (0.25 + 1 + 2.25) + 4 \right] = 2.6667 \]

重要性と使用シナリオ

この方法は、関数の解析的な積分が困難な工学、物理学、金融モデリングなどで広く用いられています。制御された精度で積分を近似できる能力は、シミュレーションや応用科学における問題解決において貴重です。

よくある質問

1. 小区間とは？

   • 小区間は区間\[a, b]をより小さく等しい部分に分割し、近似精度を高めます。

2. 合成則はどのように精度を向上させるか？

   • 台形公式を複数の小さな区間に適用することで、誤差が減少してより良い近似が得られます。

3. この方法はいつ最も効果的か？

   • 関数が比較的滑らかで、多くの点で容易に評価できる場合に効果的です。

この計算機は、合成台形公式を用いて定積分を近似することを可能にし、数学解析と応用科学のための実際的なツールとなります。