相関係数計算機

履歴背景

相関係数、別名ピアソン相関係数(r)は、20世紀初頭にカール・ピアソンによって開発されました。この統計指標は、2つの変数間の線形関係の強さと方向を決定するのに役立ちます。それ以来、統計、経済学、心理学、自然科学などの分野において、データセット間の関係を探るための礎となっています。

計算式

ピアソン相関係数(r)は、以下の式を用いて計算されます。

\[ r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \]

ここで：

• \(n\) はデータの個数
• \(X\) と \(Y\) は2つのデータセットにおける個々のデータポイント

計算例

以下の値が与えられた場合：

• X: 1, 2, 3, 4
• Y: 4, 5, 6, 7

ステップ1：合計と積を計算する：

• \(\sum X = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)
• \(\sum Y = 4 + 5 + 6 + 7 = 22\)
• \(\sum XY = (1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 6) + (4 \times 7) = 60\)
• \(\sum X^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30\)
• \(\sum Y^2 = 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 126\)

ステップ2：これらの値を式に代入する： \[ r = \frac{4 \times 60 - 10 \times 22}{\sqrt{[4 \times 30 - 10^2] [4 \times 126 - 22^2]}} \]

\[ r = \frac{240 - 220}{\sqrt{(120 - 100)(504 - 484)}} = \frac{20}{\sqrt{20 \times 20}} = \frac{20}{20} = 1 \]

相関係数\(r\)は1であり、完全な正の線形関係を示しています。

重要性と使用シナリオ

相関係数は、2つの変数の関係を理解するための統計分析において不可欠です。それは、以下のような様々なシナリオで役立ちます。

• 経済におけるトレンド予測（例：金利とインフレの関係）
• マーケティングキャンペーンの効果評価（例：売上高と広告費）
• 自然現象の研究（例：気温と植物の生育）

よくある質問

1. 相関係数は何を示していますか？

   • 相関係数は、2つの変数間の線形関係の強さと方向を示します。値の範囲は-1（完全な負の相関）から+1（完全な正の相関）です。0の値は相関がないことを意味します。

2. 相関は因果関係を意味しますか？

   • いいえ、相関は因果関係を意味しません。それは関連性の強さを測定するだけであり、一方の変数が他方の変数を引き起こすかどうかは測定しません。

3. 相関係数がゼロの場合はどうなりますか？

   • 相関係数がゼロの場合、変数間に線形関係がないことを示唆しています。しかし、非線形関係が存在する可能性はまだあります。

4. ピアソン相関係数の限界は何ですか？

   • ピアソン相関係数は線形関係のみを測定し、外れ値の影響を受けやすいです。スピアマンの順位相関係数などの他の相関尺度は、非線形関係の方が適切な場合があります。