クロス積計算機

外積はベクトル代数における基本的な演算であり、2つのベクトルに垂直なベクトルを求める方法を提供します。この演算は、表面の法線、トルク、回転力などを計算するために使用されるため、物理学、工学、コンピューターグラフィックスなどの分野で不可欠です。

歴史的背景

ベクトル積とも呼ばれる外積の概念は、19世紀に複数の数学者によって考案されました。これは、3次元空間における量の表現と計算を容易にするために、ベクトル解析の一部として開発されました。

計算式

2つのベクトル\(\mathbf{a}\)と\(\mathbf{b}\)の外積は、次の式を使用して計算できます。

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) \]

この式は、\(\mathbf{a}\)と\(\mathbf{b}\)の両方に垂直な新しいベクトル\(\mathbf{c}\)の座標を与えます。

計算例

ベクトル\(\mathbf{a} = (2, 3, 4)\)と\(\mathbf{b} = (3, 7, 8)\)を考えます。外積\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)は次のように計算されます。

• x座標: \(3 \times 8 - 4 \times 7 = -4\)
• y座標: \(4 \times 3 - 2 \times 8 = -4\)
• z座標: \(2 \times 7 - 3 \times 3 = 5\)

したがって、結果のベクトルは\((-4, -4, 5)\)です。

重要性と使用シナリオ

外積は、ベクトルによって形成される平行四辺形の向きと面積を理解し、3D空間における垂直ベクトルを決定し、トルクや回転ベクトルを含む物理問題の解析と解決に重要です。

よくある質問

1. 外積と内積の違いは何ですか？

   • 内積はスカラーを生成しますが、外積は元のベクトルに垂直なベクトルを生成します。

2. 右手法則は外積にどのように適用されますか？

   • 右手法則は、結果のベクトルの向きを決定するのに役立ちます。ベクトル\(\mathbf{a}\)の方向に人差し指を向け、ベクトル\(\mathbf{b}\)の方向に中指を向けると、親指は\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)の方向を指します。

3. 外積は2D空間で使用できますか？

   • 外積は、特に3Dベクトル用に定義されています。2Dベクトルでは、3次元を0と見なすことで外積を適用できますが、結果は常にz軸に沿うことになります。

外積を理解し、活用することで、特に空間的関係やダイナミクスを理解する必要があるアプリケーションにおいて、ベクトルを扱う能力を大幅に向上させることができます。