接平面方程式計算機

履歴背景

接平面の概念は微分積分学と幾何学において基礎的なものである。その起源はアイザック・ニュートンとゴットフリード・ライプニッツによる微積分学の発展に遡る。与えられた点における曲面への接平面とは、その点においてのみ曲面に接する平面である。3次元幾何学において、接平面は曲面の線形近似を与え、最適化、機械学習、物理学など多くの分野で不可欠である。

計算式

曲面z = f(x, y)上の点(x₀, y₀, z₀)における接平面の方程式は、偏微分を用いて計算できる。その公式は次の通りである。

\[ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]

ここで：

• fₓ(x₀, y₀)はf(x, y)のxに関する偏微分である。
• fᵧ(x₀, y₀)はf(x, y)のyに関する偏微分である。

計算例

f(x, y) = x² + y²とし、点(1, 1, 2)における接平面の方程式を求めたいとする。まず、偏微分を計算する。

\[ f_x(x, y) = 2x, \quad f_y(x, y) = 2y \]

点(1, 1)において、fₓ(1, 1) = 2、fᵧ(1, 1) = 2である。したがって、接平面の方程式は次の通りである。

\[ z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1) \]

これを簡略化すると、次の式が得られる。

\[ z = 2x + 2y - 2 \]

重要性と使用例

接平面は微分幾何学、最適化問題、3次元モデリングなどで広く使用されている。これにより、局所的に曲面を近似し、与えられた点近傍における複雑な曲面の挙動に関する洞察を得ることができる。これは、曲面の局所的な挙動の理解が重要なコンピュータグラフィックス、機械工学、科学シミュレーションにおいて有用である。

よくある質問

1. 接平面とは何か？

   • 接平面は、単一点において曲面に接する平面であり、その点における曲面の線形近似を与える。

2. なぜ偏微分を用いて接平面を求めるのか？

   • 偏微分は、各変数の向きにおける曲面の傾きを与え、それを使用して接平面の方程式を形成する。

3. 接平面は滑らかでない曲面にも使用できるか？

   • 接平面の概念は、曲面が微分可能（つまり滑らか）な点にのみ適用される。滑らかでない点には、明確に定義された接平面が存在しない。