誤差限界計算機（シンプソンの公式）

過去の背景

シンプソンの公式は、関数の積分を近似するために使用される数値的方法であり、単純な台形公式よりも良い推定値を提供します。その起源は、18 世紀のイギリスの数学者トーマス・シンプソンに遡ります。誤差限界は、シンプソンの公式を使用して積分を近似する際に発生する可能性のある誤差の上限を特定するのに役立ちます。

公式

シンプソンの公式の誤差限界公式は次のとおりです。

\[ n > \frac{(b - a)^5 \cdot M}{180^{1/4}} \]

ここで：

• \(n\) は誤差限界、
• \(a\) は下限、
• \(b\) は上限、
• \(M\) は、\([a, b]\) 上の関数の 4 階導関数の最大値です。

例の計算

次の値が与えられた場合：

• 上限 (b): 4
• 下限 (a): 1
• 近似関数電力 (M): 3

誤差限界の計算は次のとおりです。

\[ n > \frac{(4 - 1)^5 \cdot 3}{180^{1/4}} \approx 1.4186 \]

よくある質問

1. シンプソンの公式は何に使用されますか？

   • シンプソンの公式は、関数の定積分を近似するために使用されます。これは、関数の正確な積分を解析的に見つけることが困難または不可能な場合に使用されます。

2. 誤差限界とは何ですか？なぜ重要なのですか？

   • 誤差限界は、数値的方法を使用して関数を近似する場合に発生する可能性のある最大誤差の推定値を提供します。これは、近似の精度を評価するのに役立ちます。

3. なぜ誤差限界公式で 4 階導関数を使用するのですか？

   • 4 階導関数は、関数の曲率がどれだけ変化するかを定量化するのに役立ちます。シンプソンの公式は、関数の曲率に非常によく一致する多項式を使用して関数を近似します。

4. シンプソンの公式は正確な解を提供しますか？

   • いいえ、近似値を提供しますが、特に区間上で滑らかで連続する関数の場合、台形公式よりも一般的に正確です。