グラム・シュミット直交化計算機

歴史的背景

グラム・シュミットの直交化法は、ユルゲン・ペダーセン・グラムとエルハルト・シュミットによって導入された線形代数の基本アルゴリズムであり、線形独立なベクトルの集合を正規直交集合に変換するために用いられる。この方法は、数値解析、量子力学、信号処理などに応用されている。

計算式

グラム・シュミットの直交化法は、各ベクトル\(v_i\)に対して以下の手順を含む。

1. 射影の減算: \[ u_i = vi - \sum{j=1}^{i-1} \text{proj}_{u_j}(vi) \] ここで、\(\text{proj}{u_j}(v_i)\)は、\(v_i\)を既に計算されたベクトル\(u_j\)へ射影したものである。

2. ベクトルの正規化: \[ e_i = \frac{u_i}{|u_i|} \]

計算例

2つのベクトル\(v_1 = (1, 0)\)と\(v_2 = (1, 1)\)にグラム・シュミットの直交化法を適用する。

1. 最初のベクトル: \( u_1 = v_1 = (1, 0) \) 正規化: \( e_1 = \frac{(1, 0)}{|1, 0|} = (1, 0) \)

2. 2番目のベクトル: \(v_2\)を\(e_1\)へ射影したものを減算する: \[ u_2 = v2 - \text{proj}{e_1}(v_2) = (1, 1) - \left( \frac{1 \cdot (1, 0)}{1} \right) = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1) \] 正規化: \( e_2 = \frac{(0, 1)}{|0, 1|} = (0, 1) \)

正規直交ベクトルは\(e_1 = (1, 0)\)と\(e_2 = (0, 1)\)である。

重要性と使用例

グラム・シュミットの直交化法は、線形独立なベクトルの集合を正規直交基底に変換するために不可欠であり、数値計算、物理学、工学における多くの問題を簡素化する。この方法は、行列のQR分解、信号処理（例えば、直交周波数分割多重化）、正規直交多項式列の構成などで広く用いられている。

よくある質問

1. グラム・シュミットの直交化法の目的は何ですか？ 線形独立なベクトルの集合を取り、それらを互いに直交し、単位ノルムを持つ正規直交集合に変換することである。

2. 直交化が重要なのはなぜですか？ 正規直交ベクトルは、連立一次方程式の解法など、様々な分野における計算を簡素化し、スペクトル解析やコンピュータグラフィックスなどの応用において不可欠である。

3. グラム・シュミットの直交化法は失敗することがありますか？ この方法は、初期のベクトルの集合が線形独立であることを要求する。そうでない場合、この方法はゼロベクトルを生成し、失敗を示す。

4. グラム・シュミットの直交化法とQR分解の関係は？ グラム・シュミットの直交化法は、行列を直交行列\(Q\)と上三角行列\(R\)に分解する行列のQR分解における基礎的なステップである。