理想ハイパスフィルタのインパルス応答

理想的なハイパスフィルタのインパルス応答

理想的なハイパスフィルタは、あるカットオフ周波数以上の周波数を通過させ、カットオフ周波数以下の周波数を減衰させます。理想的なハイパスフィルタのインパルス応答は、その周波数応答の逆フーリエ変換から導出されます。

計算式

理想的なハイパスフィルタのインパルス応答h(n)は、次のように定義できます。

\[ h(n) = \begin{cases} 1 - 2f_c & n = 0の場合 \ -\frac{\sin(2\pi f_c n)}{\pi n} & n \neq 0の場合 \end{cases} \]

ここで：

• \( f_c \) は正規化カットオフ周波数（カットオフ周波数をサンプリングレートで割った値）です。
• \( n \) はサンプルインデックスで、N点のフィルタでは-(N-1)/2から(N-1)/2の範囲です。

計算例

カットオフ周波数が1000Hz、サンプリングレートが10000Hzの場合、正規化カットオフ周波数\( f_c \)は0.1になります。N=51点のインパルス応答は次のように計算できます。

n = 0の場合： \[ h(0) = 1 - 2 \times 0.1 = 0.8 \]

n ≠ 0の場合： \[ h(n) = -\frac{\sin(2\pi \times 0.1 \times n)}{\pi n} \]

重要性と用途

理想的なハイパスフィルタは、信号処理において信号から低周波成分を除去するために広く用いられています。これは、不要な低周波ノイズや干渉を除去することが重要なオーディオ処理、通信システム、画像処理などの様々な用途で役立ちます。