逆双曲タンジェント関数バッチオンライン計算機

双曲余切函数，表示为 \( \text{artanh}(x) \)，是一个基本的数学函数，它将反正切函数的概念延伸到双曲领域。双曲函数中的前缀 "ar" 意味着 "面积"，反映了双曲角是通过双曲线的扇形的面积定义的，这与与圆弧相关的三角反函数不同。

历史背景

双曲函数起源于 17 世纪的数学家，他们探索双曲扇形的面积与某些函数的增长之间的关系。双曲余切函数后来被定义为这些双曲函数的反运算，为包括微积分和复变分析在内的数学各个分支提供了重要的工具。

计算公式

数字 \(x\) 的双曲余切为：

\[ \text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]

其中 \(\ln\) 表示自然对数，\(x\) 介于 -1 和 1 之间（不包括 -1 和 1）。

示例计算

对于输入值 \(0.5\)，其双曲余切值为：

\[ \text{artanh}(0.5) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + 0.5}{1 - 0.5}\right) \approx 0.549306 \]

重要性和使用场景

双曲余切函数对于解决双曲几何、计算特殊相对论中的速率以及求解某些微分方程至关重要。它在涉及双曲关系的工程、物理学和其他科学领域有着广泛的应用。

常见问题解答

1. 双曲余切函数的范围是什么？

   • \( \text{artanh}(x) \) 的范围是所有实数，因为 \( x \) 从 -1 逼近到 1。

2. 双曲余切函数能处理复数吗？

   • 是的，\( \text{artanh}(x) \) 的定义可以扩展到复数，从而在复变分析中提供了更广泛的应用。

3. 双曲余切函数与对数有什么关系？

   • 该函数可以用自然对数表示，这表明了双曲函数与指数增长模式之间的密切联系。

此计算器可以简化双曲余切的计算，无论是个别值还是批量计算，使其成为各个领域的学生、教育工作者和专业人士的宝贵工具。