LU分解計算機

LU分解計算機は、正方行列を2つの三角行列、L（下三角行列）とU（上三角行列）に分解するために用いられる強力なツールです。この分解は、連立一次方程式の解法、行列式の計算、および行列の逆行列計算における重要なステップです。

履歴

LU分解（LU分解とも呼ばれる）は、数値解析において数十年にわたって用いられてきた手法です。この手法は、連立一次方程式の解法の効率性を向上させるために導入され、工学、物理学、経済学など様々な分野で重要です。

計算式

LU分解は、行列Aを下三角行列Lと上三角行列Uの積に分解することを伴います。

\[ A = L \times U \]

ここで、Lは対角要素が1の下三角行列であり、Uは上三角行列です。

計算例

3×3行列が与えられたとします。

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \ 3 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

LU分解により、以下のLとUが得られます。

\[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0.75 & 1 & 0 \ 0.5 & 0.5 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ U = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \ 0 & -0.25 & -0.5 \ 0 & 0 & 1.5 \end{pmatrix} \]

重要性と使用例

LU分解は数値線形代数において不可欠です。特に同じ係数行列を異なる右辺ベクトルに用いる場合、連立一次方程式の効率的な解法に使用されます。また、行列の逆行列計算や行列式の計算におけるアルゴリズムにおいても基本となります。

よくある質問

1. LU分解とは何ですか？

   • LU分解とは、行列を下三角行列Lと上三角行列Uに分解することです。

2. LU分解が重要な理由は何ですか？

   • 連立一次方程式の解法、行列の逆行列計算、および行列式の計算を簡素化し、計算数学において貴重なものです。

3. LU分解はすべての行列に使用できますか？

   • LU分解は正方行列に対して有効です。正しく分解するには、一部の行列で部分ピボット(PA = LU)が必要となる場合があります。