第n項判定法計算機

歴史的背景

項別極限判定法、別名発散判定法は、無限級数の挙動を判定する際に用いられる最も簡単な手法の一つです。これは微積分学と級数論の初期の発展に遡り、数学者たちが無限和の収束または発散を理解しようとしたことに由来します。この判定法は、級数が確実に発散することを判定するための迅速かつ容易な方法を提供します。

計算式

項別極限判定法は、級数の第n項の極限がn→∞で0に近づかない場合、その級数は発散するというものです。式は以下の通りです。

\[ \lim_{{n \to \infty}} a_n \]

この極限が0でない場合、級数は発散します。極限が0の場合、この判定法では結論が出ず、更なる方法が必要です。

計算例

級数an=1/n を考えます。

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0 \]

この場合、極限が0であるため、項別極限判定法では結論が出ません。比較判定法や比判定法などの他の判定法が必要となります。

an=n の場合、極限は次のようになります。

\[ \lim_{{n \to \infty}} n = \infty \]

したがって、級数は発散します。

重要性と使用事例

項別極限判定法は、無限級数が収束するか否かを判定する最初の迅速なステップを提供するため重要です。項の極限が0にならない場合、より複雑な判定法は必要ありません。級数は発散します。これは微積分学、数学解析、そして無限級数モデルが一般的な物理学や工学の多くの応用において使用されます。

よくある質問

1. 項別極限判定法で結論が出ない場合、何を意味しますか？

   • 級数は依然として収束する可能性も発散する可能性もあり、その挙動を判定するには他の判定法を適用する必要があります。

2. 項別極限判定法で収束を証明できますか？

   • いいえ、項別極限判定法では発散のみを証明できます。判定法で結論が出ない場合、他の方法が必要です。

3. 第n項の極限が数でない場合、どうなりますか？

   • 極限が無限大であるか、存在しない場合、級数は発散します。