有理数解計算機

有理数解計算機

有理数解計算機は、有理根定理を用いて、多項式方程式のすべての可能な有理数解（根）を求めるのに役立ちます。この定理は、多項式が有理数解を持つ場合、その解は\( \frac{p}{q} \)の形で表され、\( p \)は定数項の約数、\( q \)は最高次数の係数の約数であると述べています。

歴史的背景

有理根定理は、代数学における結果であり、多項式方程式の可能な有理数解の基準を提供します。これは、多項式の正確な根の探索範囲を狭めるための貴重なツールであり、17世紀に形式化されて以来、代数学で使用されてきました。

計算過程

1. 定数項（最後の係数）の約数を列挙します。
2. 最高次数の係数（最初の係数）の約数を列挙します。
3. \( p \)が定数項の約数、\( q \)が最高次数の係数の約数であるような、すべての可能な分数\( \frac{p}{q} \)を作成します。
4. 分数を簡約し、可能な有理数解として列挙します。

計算例

多項式\( 2x^3 - 3x^2 + x - 6 \)の場合：

1. 定数項：-6。約数：±1、±2、±3、±6。
2. 最高次数の係数：2。約数：±1、±2。
3. 可能な解：\( \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{2}{2}, \dots \)。
4. 簡約された可能な有理数解：±1、±1/2、±2、±3、±3/2、±6。

この計算機は、すべての可能な有理数解を効率的に決定し、多項式の因数分解と根の探索に役立ちます。