長方形から極座標変換計算機

直交（デカルト）座標と極座標の変換は、数学、物理学、工学、関連分野でよく行われるタスクです。この変換は、これらの分野における問題の複雑さを簡略化するために不可欠であり、特に回転系を扱う場合や極形式が問題をより直感的に理解できる場合に役立ちます。

歴史的背景

座標系の概念は、ルネ・デカルトによるデカルト座標の導入に始まる17世紀にさかのぼります。極座標は後にグレゴリオ・フォンタナによって形式化され、オイラーによってさらに発展し、オイラーは極座標を複素数と結び付けました。これらの系は、数学、物理学、工学の分野において、2次元の平面内の点の位置を記述する方法を提供し、基礎となっています。

計算式

直交座標 \((x, y)\) を極座標 \((r, θ)\) に変換するには、次の式を使用します。

• \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
• \(θ = \arctan2(y, x)\)（ラジアンまたは度）

ここで、\(r\) は原点から点までの距離であり、\(θ\) は正のx軸から点までの角度です。

計算例

直交座標 \(x = 5\)、\(y = 3\) の点があるとします。

まず、距離 \(r\) を計算します。

\(r = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} ≈ 5.83\)

次に、角度 \(θ\) を度で計算します。

\(θ = \arctan2(3, 5) \times \frac{180}{π} ≈ 30.96^\circ\)

したがって、極座標は約 \(r = 5.83\)、\(θ = 30.96^\circ\) になります。

重要性と使用シナリオ

• 数学の問題の簡略化: 極座標は、円やらせんを含む問題の計算を簡略化します。
• 物理学と工学の応用: 回転を含む電磁場、流体流、機械系の研究に役立ちます。
• 天文学と航海: 極座標は、星の位置を記述し、地球上の点間を航行するために使用されます。

よくある質問

1. 極座標は負の値を持つことができますか？

   • 半径 \(r\) は常に非負ですが、角度 \(θ\) は負の値を持つことができ、正のx軸から時計回りの方向を示します。

2. 極座標を直交座標に戻すにはどうすればよいですか？

   • 式 \(x = r \cos(θ)\) と \(y = r \sin(θ)\) を使用します。

3. 角度 \(θ\) は常に度で測定されますか？

   • いいえ、\(θ\) はコンテキストや好みによって、ラジアンでも度でも測定できます。