スターリング数計算機

履歴背景

18世紀にジェームズ・スターリングによって導入されたスターリング数は、組合せ論と集合の分割の研究において生じる。第2種スターリング数S(n, k)は、n個の要素の集合をk個の空でない部分集合に分割する方法の数を表す。この概念は、特に代数学と数論において、数学の多くの分野において基礎的である。

計算式

第2種スターリング数の漸化式は以下の通りである。

\[ S(n, k) = k \cdot S(n - 1, k) + S(n - 1, k - 1) \]

境界条件： \[ S(n, n) = S(n, 1) = 1, \quad S(n, 0) = 0 \text{ for } n > 0 \]

計算例

4個の要素の集合を2個の空でない部分集合に分割する方法の数であるS(4, 2)を計算してみよう。

公式を用いると：

\[ S(4, 2) = 2 \cdot S(3, 2) + S(3, 1) \]

\[ S(3, 2) = 2 \cdot S(2, 2) + S(2, 1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] \[ S(3, 1) = 1 \]

よって： \[ S(4, 2) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \]

重要性と使用例

スターリング数は、組合せ論と確率論において重要な役割を果たす。それらは以下で使用される：

• 組合せ最適化における集合の分割
• 異なるグループにおけるオブジェクトの分布の研究
• 多項式展開の分析
• アルゴリズム、特にプロセッサ間のタスク分割への応用

よくある質問

1. 第2種スターリング数とは何か？ 第2種スターリング数S(n, k)は、n個の要素の集合をk個の空でない部分集合に分割する方法の数を数える。

2. スターリング数は現実世界でどのように応用されるか？ スターリング数は、人々をチームに分割する、作業者をタスクに割り当てる、または機械学習におけるデータクラスタリングを研究するなど、グループ化または分割を伴う問題に現れる。

3. 第1種と第2種のスターリング数の違いは何？ 第2種スターリング数は集合の分割を数えるのに対し、第1種スターリング数は与えられた数の巡回置換の数え上げる。