スターリングの公式: 階乗の近似

スターリングの公式は数学と統計学において強力な道具であり、大きな数の階乗に対する便利な近似を与えます。この近似を18世紀初頭に導入したスコットランドの数学者ジェームズ・スターリングにちなんで名付けられました。

歴史的背景

階乗関数は \(n!\) と表され、\(n\) までの全正の整数の積です。\(n\) の値が大きい場合、階乗関数の急速な増大により、\(n!\) を直接計算することは非現実的になる場合があります。スターリングの公式は大数の \(n!\) を計算するのがはるかに容易な公式で近似することで、この問題を解決します。

計算式

スターリングの近似公式は次のように表されます。

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

ここで:

• \(n\) は階乗を近似する正の整数です。
• \(e\) は自然対数の底で、ほぼ 2.71828 に等しいです。

計算の例

スターリングの公式を使用して、10 の階乗を近似します。

\[ 10! \approx \sqrt{2\pi \times 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx 3628800 \]

\(10!\) の実際の値は 3,628,800 であり、\(n\) の値が比較的小さい場合でもスターリングの公式の精度が示されています。

重要性と使用例

スターリングの公式は、統計学、組合せ論、熱力学において特に有用で、階乗が頻繁に登場しますが、大きな数の場合は直接計算するのが面倒です。また、階乗の計算を必要とするアルゴリズムや計算手法にも使用されます。

よくある質問

1. スターリングの近似の精度はどれくらいですか?

   • \(n\) の値が大きいほど精度は向上します。小さな値では、近似がそれほど正確でない場合がありますが、\(n\) が増加するにつれて実際の値に急速に収束します。

2. スターリングの公式は \(n\) の小さな値に使用できますか?

   • 使用できますが、小さな \(n\) の場合は直接計算またはルックアップテーブルの方が正確です。スターリングの公式は、直接的な計算が不可能な大きな \(n\) の際に優れています。

3. スターリングの公式の精度を向上させるための補正がありますか?

   • はい。\(n\) の小さな値の精度を向上させるために追加の項を含む、洗練されたバージョンの公式があります。

スターリングの公式は実践的な計算と理論的な分析を橋渡し、科学や工学のさまざまな分野において重要な階乗値の効率的な近似を可能にします。