テイラーの定理による誤差計算機

背景

テイラー級数は、数学者ブルック・テイラーにちなんで名付けられ、関数を単一点におけるその導関数から計算された項の無限級数で表現するものです。テイラーの不等式は、テイラー級数において有限個の項を用いて関数を近似する際の誤差の見積もりを与えます。

計算式

テイラーの不等式は、点aの周りでn次テイラー多項式を用いて関数を近似する場合の剰余項（誤差）の上限を与えます。誤差En(x)は次式で表されます。

\[ E_n(x) \leq \frac{M \cdot |x - a|^{n+1}}{(n + 1)!} \]

ここで：

• Mは、aとxの間の区間におけるfの(n+1)次導関数の最大値です。
• |x - a|は、近似点xと展開点aの間の距離です。
• n!はnの階乗です。

計算例

x=0.1で2次テイラー多項式を用いてa=0の周りのsin(x)を近似したいとします。sin(x)の3次導関数はcos(x)であり、0から0.1の区間における|cos(x)|の最大値はおよそ1です。従って、

\[ E_2(0.1) \leq \frac{1 \times |0.1 - 0|^3}{3!} = \frac{0.001}{6} \approx 0.000167 \]

重要性と適用事例

テイラーの不等式による誤差推定は数値解析において非常に重要であり、テイラー多項式が関数をどの程度正確に近似しているかを理解することを可能にします。これは、関数の計算を容易にするために近似が必要となる物理学や工学などの分野で特に有用です。最大誤差を知ることで、必要な精度レベルに対する多項式の次数を決定することができます。

よくある質問

1. なぜテイラーの不等式が必要なのですか？

   • テイラーの不等式は、テイラー多項式で関数を近似する際の誤差を見積もる方法を提供し、近似の精度に対する信頼性を与えます。

2. Mの値は何を表していますか？

   • Mは、その区間における関数の(n+1)次導関数の最大絶対値です。関数の高次の挙動が誤差にどのように影響するかの上限を与えます。

3. 導関数の最大値をどのように見つけることができますか？

   • 最大値を見つけるには、区間における関数の導関数を分析する必要があります。これには、さらに導関数を求めて臨界点を見つけるなどの微積分の技法がしばしば含まれます。

4. 誤差は常にテイラーの不等式で与えられる上限より小さいですか？

   • はい、テイラーの不等式で与えられる上限は、まさに上限です。実際の誤差はそれより小さくなる可能性がありますが、この上限を超えることはありません。