3 次元ベクトル角度計算機

3 次元空間における 2 つのベクトル間の角度を計算することは、物理学、工学、コンピュータグラフィックスにおけるさまざまな応用に不可欠です。この計算により、空間におけるエンティティ間の向きや方向性を決定できます。

歴史的背景

3 次元空間におけるベクトル間の角度を計算するための数学的基礎は、線形代数の内積とベクトル大きさの概念に根ざしています。これらの原則は、ナビゲーションからロボット工学まで、さまざまな分野で空間関係の理解を深めるために応用されてきました。

計算式

座標が \( a = (x_1, y_1, z_1) \) および \( b = (x_2, y_2, z_2) \) である 2 つのベクトル \( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) の間の角度 \( \theta \) は、次のように与えられます。

\[ \cos(\theta) = \frac{x_1x2 + y_1y2 + z_1z2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}} \]

角度はラジアンで計算され、次の式を使用して度に変換できます。

\[ \text{度} = \frac{\text{ラジアン} \times 180}{\pi} \]

例の計算

2 つのベクトル \( V1 = (4, 5, 1) \) と \( V2 = (1, 4, 5) \) が与えられた場合、計算は次のように進みます。

• 内積: \( 4 \times 1 + 5 \times 4 + 1 \times 5 = 4 + 20 + 5 = 29 \)
• 大きさ: \( |V1| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{42} \), \( |V2| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{42} \)
• \( \cos(\theta) = \frac{29}{\sqrt{42} \times \sqrt{42}} \)
• 度での \( \theta \) = \( \frac{\cos^{-1}(\frac{29}{42}) \times 180}{\pi} \approx 46.332° \)

重要性と使用シナリオ

ベクトル間の角度を理解することは、以下に不可欠です。

1. 物理学における力の方向の分析。
2. ロボット工学やコンピュータアニメーションにおける動きの設計と制御。
3. 応力ベクトル分析による工学における構造と材料の最適化。

一般的な FAQ

1. 2 つのベクトル間の角度が 0 度を示すのはどういうことですか?

   • 0 度の角度は、ベクトルが同じ方向を向いていることを示し、それらは平行であることを意味します。

2. ベクトルはそれらとの間に負の角度を持つことができますか?

   • ベクトルの間の角度は常に非負であり、幾何学的空間のコンテキストでは 0 度から 180 度の範囲です。

3. 角度はどのようにコンピュータグラフィックスで役立ちますか?

   • コンピュータグラフィックスでは、ベクトル間の角度は、表面の光源に対する向きを決定するのに役立ち、シェーディングやレンダリング手法に影響します。