ベクトル・クロス積計算機

ベクトル外積は、ベクトル積とも呼ばれ、3 次元空間における 2 つのベクトルの 2 項演算です。その効果はこのベクトルの 2 つが共に掛けられて互いに垂直なベクトル、つまりそれらを含む平面に対して法線なベクトルを作り出すことです。

歴史的背景

ベクトル外積の概念はベクトル微積分の一部として 19 世紀に導入されました。物理学と工学で回転効果、磁気と電気の場、3 次元物体の配向を記述するために重要なツールです。

計算公式

2 つのベクトルの外積 \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \) と \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \) は以下で与えられます。

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

計算例

ベクトル \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \) と \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \) の外積は以下のようになります。

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

重要性と使用例

ベクトル外積は物理学と工学で力のトルク、帯電粒子にかかる磁気力、2 つのベクトルで定義された平面に対する垂線ベクトルを決める必要がある多くの他の応用で広く使用されています。

一般的な FAQ

1. 外積は私たちに何を教えてくれますか？

   • 外積は 2 つのベクトルによって形成された平面に対する垂直ベクトルに関する情報を提供します。その大きさはベクトルがまたがる平行四辺形の面積に比例します。

2. 外積は可換ですか？ -いいえ、外積は可換ではありません。\( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) は \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \) に等しくありません。実際、\( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \) です。