등비수열 계산기

등비수열은 첫째 항을 제외한 각 항이 이전 항에 일정한 비율인 공비를 곱하여 얻어지는 수열입니다. 이 수학적 개념은 금융, 물리학, 일반 산술과 같은 분야에서 성장 패턴, 복리 계산 및 알고리즘 분석에 널리 사용됩니다.

역사적 배경

등비수열의 연구는 고대 그리스를 포함한 고대 문명으로 거슬러 올라갑니다. 그들은 건축 및 예술 디자인에 등비수열을 활용했습니다. 오늘날 볼 수 있는 형태의 등비수열에 대한 체계적인 연구는 르네상스 시대의 수학자들에 의해 시작되었으며, 그들은 문제 해결에 등비수열의 개념과 응용을 공식화했습니다.

계산 공식

등비수열의 제 \(n\)항은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. \[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \] 여기서:

• \(a_n\)은 수열의 제 \(n\)항입니다.
• \(a_1\)은 첫째 항입니다.
• \(r\)은 공비입니다.
• \(n\)은 항의 번호입니다.

등비수열의 처음 \(n\)항의 합은 다음과 같습니다. \[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1) \] 그리고 \(r = 1\)일 때: \[ S_n = n \times a_1 \]

예시 계산

첫째 항이 6이고 공비가 5인 등비수열의 경우:

• 제 2항 (\(a_2\)) 계산: \[ a_2 = 6 \times 5^{(2-1)} = 30 \]

• 처음 2항의 합 (\(S_2\)) 계산: \[ S_2 = \frac{6(1 - 5^2)}{1 - 5} = 36 \]

중요성 및 사용 사례

등비수열은 투자의 미래 가치를 결정하는 금융 계산, 일정한 가속도로 시간에 따른 거리를 계산하는 물리학, 알고리즘의 복잡성을 분석하는 컴퓨터 과학에 필수적입니다.

일반적인 FAQ

1. 공비가 1이면 어떻게 됩니까?

   • 각 항이 첫째 항과 같으므로 수열은 일정해집니다.

2. 등비수열이 감소할 수 있습니까?

   • 네, 공비가 0과 1 사이이면 수열은 감소하지만 양수로 유지됩니다.

3. 음수의 공비를 어떻게 처리합니까?

   • 수열은 양수와 음수 값을 번갈아 가며 나타납니다.

4. 등비수열에 0 또는 음수 항이 있을 수 있습니까?

   • 네, 첫째 항이 0이거나 음수 공비를 곱한 항이 있으면 가능합니다.