Calculadora de Conversão 3D Cartesiana para 3D Esférica

Converter coordenadas cartesianas 3D para coordenadas esféricas 3D é uma operação fundamental em vários campos como física, matemática e computação gráfica. Essa transformação nos permite entender e representar pontos no espaço por uma lente diferente, enfatizando as distâncias radiais e ângulos ao invés de apenas distâncias em eixos.

Contexto histórico

O sistema coordenado cartesiano atribuído a René Descartes simplifica a representação de figuras geométricas e equações algébricas. O sistema coordenado esférico, que tem se desenvolvido ao longo dos séculos, oferece uma forma mais complexa e profunda de olhar para espaços 3D, especialmente nos campos que envolvem corpos esféricos ou simetria radial.

Fórmulas de cálculo

Para converter um ponto de coordenadas cartesianas \((x, y, z)\) em coordenadas esféricas \((r, θ, Φ)\), são usadas as seguintes equações:

\[ r = \sqrt(x^2 + y^2 + z^2) \] \[ θ = \arctan2\left(\sqrt{x^2 + y^2}, z\right) \frac{180}{π} \] \[ Φ = \arctan2(y, x) \frac{180}{π} \]

Exemplo de cálculo

Para um ponto com as coordenadas cartesianas \(x=3, y=4, z=5\):

• Raio: \( r = \sqrt{(3)^2+(4)^2+5^2}= \sqrt{50}=7,071 \) aproximadamente
• Tetha: \( θ =\arctan2(\sqrt{(3)^2+(4)^2}, 5) * \frac{180}{π} = 45,0º \) aproximadamente
• Fi: \(\Phi=\arctan2(4,3)*\frac{180}{π}=53,13°\) aproximadamente

Importância e casos de utilização

As coordenadas esféricas são essenciais em situações onde a simetria radial é fator, tais com em astronomia, eletromagnetismo e computação gráfica. Elas simplificam as equações e os cálculos de esferas, órbitas e campos que se irradiam a partir de um único ponto.

Perguntas frequentes

1. Por quê converter para coordenadas esféricas?

   • Coordenadas esféricas são particularmente úteis para problemas que envolvam esferas, círculos e ângulos de um único ponto central, simplificando assim a matemática de muitos casos.

2. Como interpretar tetha e phi?

   • Tetha é o ângulo a partir do eixo positivo de Z até o ponto e Phi o ângulo a partir do eixo positivo de X até a projecção do ponto no plano XY.

3. Essas fórmulas são válidas para todos os pontos do espaço 3D? Sim, todos os pontos do espaço 3D podem ser representados em coordenadas esféricas, porém pode ser necessária uma adaptação de acordo com diferentes convenções.