Calculadora de produto vetorial

O produto vetorial, também conhecido como produto vetorial ou produto cruz, é uma operação binária em dois vetores no espaço tridimensional. Ele tem o efeito de produzir um vetor que é perpendicular a ambos os vetores que estão sendo multiplicados juntos e, portanto, normal ao plano que os contém.

Histórico

O conceito do produto vetorial foi introduzido como parte do cálculo vetorial no século XIX. Trata-se de uma ferramenta crucial na física e engenharia para descrever efeitos rotacionais, campos magnéticos e elétricos e a orientação de objetos tridimensionais.

Fórmula de Cálculo

O produto vetorial de dois vetores \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \) e \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \) é dado por:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

Cálculo de Exemplo

Para vetores \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \) e \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \), o produto vetorial é:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

Importância e Cenários de Uso

O produto vetorial é amplamente utilizado em física e engenharia para determinar o torque de uma força, a força magnética em uma partícula carregada e para muitas outras aplicações onde é necessário determinar o vetor perpendicular a um plano definido por dois vetores.

Perguntas Frequentes

1. O que o produto vetorial nos diz?

   • O produto vetorial fornece informações sobre o vetor perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Sua magnitude é proporcional à área do paralelogramo que os vetores abrangem.

2. O produto vetorial é comutativo?

   • Não, o produto vetorial não é comutativo. \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) não é igual a \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \); na verdade, \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \).