Калькулятор "Завершение квадрата"

Дополнение до квадрата — это техника, используемая в алгебре для решения квадратных уравнений. Этот метод преобразует квадратное уравнение в полный квадратной трехчлен, что упрощает решение. Подход особенно полезен для уравнений, которые не легко раскладываются на множители, и для вывода формулы квадратного уравнения.

Исторический обзор

Метод дополнения до квадрата восходит к древним математикам, которые использовали геометрические доказательства для решения квадратных уравнений. Эта методика была далее развита в средние века, что внесло значительный вклад в алгебраические решения, которые мы используем сегодня.

Формула вычисления

Чтобы дополнить до квадрата квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), мы выполняем следующие шаги:

1. Разделите все члены на \(a\) (если \(a \neq 1\)).
2. Перегруппируйте уравнение, чтобы получить \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\).
3. Добавьте \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) к обеим сторонам, чтобы дополнить до квадрата.
4. Теперь уравнение становится \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}\).
5. Решите для \(x\).

Пример вычисления

Для квадратного уравнения \(2x^2 + 8x + 6 = 0\) дополнение до квадрата включает следующие шаги:

1. Разделите на \(2\): \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
2. Добавьте \(\left(\frac{4}{2}\right)^2 - 3\) к обеим сторонам: \(x^2 + 4x + 4 = 1\).
3. Перепишите как полный квадрат: \((x + 2)^2 = 1\).
4. Решите для \(x\): \(x + 2 = \pm 1\); следовательно, \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -3\).

Важность и варианты использования

Дополнение до квадрата имеет решающее значение для решения квадратных уравнений, анализа квадратных функций и понимания свойств парабол. Это также основа для вывода формулы квадратного уравнения и часто используется в исчислении и физике.

Часто задаваемые вопросы

1. Зачем дополнять до квадрата? — Это обеспечивает систематический способ решения любого квадратного уравнения и имеет важное значение для понимания структуры этих уравнений.

2. Может ли дополнение до квадрата решить все квадратные уравнения? — Да, оно может решить любое квадратное уравнение, включая уравнения со сложными решениями.

3. Что делать, если коэффициент \(x^2\) не равен 1? — Разделите все уравнение на коэффициент \(x^2\), чтобы упростить процесс дополнения до квадрата.

Этот калькулятор упрощает процесс дополнения до квадрата, делая его более доступным для студентов, преподавателей и всех, кто интересуется алгеброй.