Калькулятор погрешности (правило Симпсона)

Исторический контекст

Правило Симпсона - это численный метод, используемый для приближения интеграла функции, обеспечивая более точную оценку, чем более простое трапецеидальное правило. Его происхождение восходит к Томасу Симпсону, британскому математику XVIII века. Граница ошибки помогает определить верхний предел потенциальной ошибки при приближении интеграла с помощью правила Симпсона.

Формула

Формула границы ошибки для правила Симпсона:

\[ n > \frac{(b - a)^5 \cdot M}{180^{1/4}} \]

где:

• \(n\) - это граница ошибки,
• \(a\) - нижняя граница,
• \(b\) - верхняя граница,
• \(M\) - максимальное значение четвертой производной функции на \([a, b]\).

Пример расчета

При следующих значениях:

• Верхняя граница (b): 4
• Нижняя граница (a): 1
• Приблизительная мощность функции (M): 3

Вычисление границы ошибки выглядит следующим образом:

\[ n > \frac{(4 - 1)^5 \cdot 3}{180^{1/4}} \approx 1.4186 \]

Часто задаваемые вопросы

1. Для чего используется правило Симпсона?

   • Правило Симпсона используется для приближения определенного интеграла функции, когда нахождение точного интеграла аналитически затруднительно или невозможно.

2. Что такое граница ошибки и почему она важна?

   • Граница ошибки обеспечивает оценку максимальной возможной ошибки при приближении функции с помощью численного метода. Это помогает оценить точность приближения.

3. Почему в формуле границы ошибки используется четвертая производная?

   • Четвертая производная помогает количественно оценить, насколько изменяется кривизна функции. Правило Симпсона предполагает аппроксимацию функции многочленом, который близко совпадает с кривизной функции.

4. Обеспечивает ли правило Симпсона точное решение?

   • Нет, оно дает приближение, но оно, как правило, точнее трапецеидального правила, особенно для функций, которые гладкие и непрерывны на интервале.