Онлайн-калькулятор обратной гиперболической тангенциальной функции, пакетный

Обратная гиперболическая тангенциальная функция, обозначаемая как \( \text{artanh}(x) \), является фундаментальной математической функцией, которая расширяет концепцию обратной тангенциальной функции в гиперболической области. В отличие от тригонометрических функций арк, связанных с круговыми дугами, префикс «ар» в гиперболических функциях обозначает «площадь», отражая определение гиперболического угла через площадь сектора гиперболы.

Историческая справка

Гиперболические функции берут свое начало в трудах математиков семнадцатого века, изучавших связь между площадью гиперболических секторов и ростом некоторых функций. Обратные гиперболические функции были позднее определены как обратные операции этих гиперболических функций, предоставляя важные инструменты для различных разделов математики, включая исчисление и комплексный анализ.

Формула вычисления

Обратная гиперболическая тангенциальная функция для числа \(x\) определяется формулой:

\[ \text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]

где \(\ln\) обозначает натуральный логарифм, а \(x\) — любое действительное число в интервале от -1 до 1, не включая их.

Пример вычисления

Для входного значения \(0,5\) обратное значение гиперболического тангенса вычисляется как:

\[ \text{artanh}(0,5) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + 0,5}{1 - 0,5}\right) \approx 0,549306 \]

Значимость и сценарии использования

Обратная гиперболическая тангенциальная функция имеет важное значение для решения задач, связанных с гиперболической геометрией, вычисления быстроты в специальной теории относительности и решения определенных дифференциальных уравнений. Она находит применение в инженерном деле, физике и других науках, где задействованы гиперболические соотношения.

Часто задаваемые вопросы

1. Каков диапазон обратной гиперболической тангенциальной функции?

   • Диапазон \( \text{artanh}(x) \) — это все действительные числа при приближении \( x \) к числу -1 и 1.

2. Может ли обратная гиперболическая тангенциальная функция работать со сложными числами?

   • Да, определение \( \text{artanh}(x) \) можно расширить до комплексных чисел, что обеспечивает более широкий спектр применения в комплексном анализе.

3. Как обратная гиперболическая тангенциальная функция связана с логарифмами?

   • Функция может быть выражена через натуральные логарифмы, что указывает на глубокую связь между гиперболическими функциями и экспоненциальными моделями роста.

Этот калькулятор упрощает вычисление обратного гиперболического тангенса, как для отдельных значений, так и для наборов, что делает его ценным инструментом для студентов, преподавателей и профессионалов в различных областях.