Формула Стирлинга: приближение факториалов

Формула Стирлинга — это мощный инструмент в математике и статистике, обеспечивающий удобное приближение факториала для больших чисел. Она названа в честь шотландского математика Джеймса Стирлинга, который впервые представил это приближение в начале 18 века.

Историческая справка

Факториальная функция, обозначаемая как \(n!\), является произведением всех положительных целых чисел до \(n\). Для больших значений \(n\) непосредственный расчет \(n!\) может быть неудобен из-за быстрого роста факториальной функции. Формула Стирлинга предлагает решение, приближая \(n!\) с помощью формулы, которая намного проще вычисляется для больших чисел.

Формула расчета

Формула приближения по Стирлингу выражается следующим образом:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

где:

• \(n\) – это положительное целое число, для которого мы приближаем факториал,
• \(e\) – основание натурального логарифма, приблизительно равное 2,71828.

Примерный расчет

Для приближения факториала 10 с помощью формулы Стирлинга:

\[ 10! \approx \sqrt{2\pi \times 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx 3628800 \]

Фактическое значение \(10!\) равно 3 628 800, что демонстрирует точность формулы Стирлинга даже для относительно малых значений \(n\).

Значение и варианты использования

Формула Стирлинга особенно полезна в статистике, комбинаторике и термодинамике, где факториалы появляются часто, но их вычисление непосредственно для больших чисел затруднительно. Она также используется в алгоритмах и вычислительных методах, которые требуют факториальных расчетов.

Частые вопросы

1. Насколько точно приближение Стирлинга?

   • Точность улучшается с увеличением значений \(n\). Для маленьких значений приближение может быть не очень близким, но оно быстро приближается к фактическому значению с увеличением \(n\).

2. Можно ли использовать формулу Стирлинга для маленьких значений \(n\)?

   • Ее можно использовать, но непосредственный расчет или таблицы будут более точными для маленьких \(n\). Формула Стирлинга идеальна для больших \(n\), для которых непосредственный расчет невозможен.

3. Есть ли исправления для улучшения точности формулы Стирлинга?

   • Да, существуют улучшенные версии формулы, которые включают дополнительные члены для повышения точности для меньших значений \(n\).

Формула Стирлинга объединяет практические вычисления и теоретический анализ, что позволяет эффективно приближать значения факториалов, что критически важно в различных научных и инженерных областях.