Калькулятор векторного произведения

Векторное перекрестное произведение, которое также известно как векторное произведение, является бинарной операцией над двумя векторами в трехмерном пространстве. Его результат — это такой вектор, который перпендикулярен двум векторам, перемноженным между собой, и в то же время лежит на плоскости, в которой они лежат.

Историческая справка

Концепция векторного перекрестного произведения появилась в XIX веке как часть векторного исчисления. В физике и инженерии это важнейший инструмент, позволяющий описывать эффекты вращения, магнитные и электрические поля и ориентацию трехмерных объектов.

Формула вычисления

Перекрестное произведение векторов \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \) и \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \) определяется с помощью следующего выражения:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

Пример вычисления

Для двух векторов \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \) и \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \) перекрестное произведение равно:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

Значение и сценарии применения

В физике и инженерии векторное перекрестное произведение широко используется для расчета момента силы, магнитной силы, действующей на зараженную частицу, а также во многих других случаях, когда требуется определение перпендикулярного вектора плоскости, которую задают два других вектора.

Часто задаваемые вопросы

1. Что дает перекрестное произведение?

   • Оно дает перпендикулярный к плоскости, образуемой двумя векторами. Его модуль пропорционален площади параллелограмма, который эти векторы определяют.

2. Коммутативно ли перекрестное произведение?

   • Нет, не коммутативно. \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) отличается от \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \), а именно, \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \).