Cayley-Hamilton定理计算器

历史背景

凯莱-哈密顿定理是线性代数中的一个基本结果，由数学家阿瑟·凯莱和威廉·哈密顿在19世纪独立发现。它指出每个方阵都满足其自身的特征方程。该定理对于理解矩阵理论至关重要，并在线性方程组、控制理论和量子力学等领域具有实际应用。

计算公式

凯莱-哈密顿定理断言，对于矩阵\( A \)，其特征多项式\( p_A(\lambda) \)由下式给出：

\[ p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) \]

其中\( I \)是单位矩阵，\( \det \)表示行列式。该矩阵满足方程：

\[ p_A(A) = 0 \]

示例计算

给定一个2x2矩阵：

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

其特征多项式为：

\[ \det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 \ -1 & \lambda - 3 \end{pmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3) - (-1)(-1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

将\( A \)代入其特征多项式得到零矩阵，该矩阵满足凯莱-哈密顿定理。

重要性和应用场景

凯莱-哈密顿定理简化了与矩阵函数、矩阵幂和求解线性方程组相关的计算。它应用于线性微分方程、控制理论和量子力学，其中使用了矩阵指数和类似的函数。

常见问题

1. 什么是特征多项式？

   • 矩阵的特征多项式是一个多项式，其根是矩阵的特征值。它计算为\( \det(\lambda I - A) \)。

2. 凯莱-哈密顿定理如何在实际应用中提供帮助？

   • 它允许我们将矩阵的高次幂表示为低次幂的表达式，从而简化线性代数、控制系统和量子力学中的计算。

3. 该定理是否适用于所有矩阵？

   • 是的，凯莱-哈密顿定理适用于所有方阵，无论其大小或定义它们的域如何。