游戏 nim 数值计算器

计算博弈状态的尼姆值需要用到组合博弈论中的概念，特别是Nim游戏的规则。尼姆值，也称为格朗迪数，用于确定公平博弈中的胜负位置。

历史背景

尼姆值起源于对诸如Nim之类的公平博弈的研究，其中每个位置都可以被分析以确定最佳策略。约翰·康威和理查德·盖伊对这一领域做出了重大贡献，在20世纪70年代将许多这些概念形式化。

计算方法

尼姆值的计算步骤如下：

1. 将博弈状态表示为一组数字（例如，一堆石子）。
2. 确定当前状态下所有可能的移动。
3. 计算每个可达状态的尼姆值。
4. 当前状态的尼姆值是可达状态的尼姆值的最小被排除数 (mex)。

示例计算

对于以 (3, 5) 表示的石子堆博弈状态：

1. 初始状态：(3, 5)
2. 可能的移动：从任一堆中移除任意数量的石子。
3. 可达状态：(0, 5), (1, 5), (2, 5), (3, 4), (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0)
4. 计算每个可达状态的尼姆值：
   • 如果一个状态是 (3, 4)，则它的尼姆值由从该状态进一步移动确定。
5. 使用异或运算组合尼姆值。

例如，如果可达状态的尼姆值是 1, 2, 3 等，则 (3, 5) 的尼姆值是： \[ \text{Nimber}(3, 5) = 3 \oplus 5 = 6 \]

重要性和应用场景

理解尼姆值有助于玩家确定获胜策略。尼姆值为 0 表示如果双方都采取最佳策略，则为失败位置；非零尼姆值表示获胜位置。

常问问题

1. 什么是尼姆值？

   • 尼姆值，或格朗迪数，是组合博弈论中博弈状态的数值表示，指示一个位置是胜是负。

2. 异或运算在这种情况下如何工作？

   • 异或运算组合不同博弈状态的尼姆值以确定当前状态的值。它遵循二进制加法规则，但不进位。

3. 尼姆值可以用于所有类型的博弈吗？

   • 尼姆值适用于公平博弈，其中允许的移动仅取决于状态，而不取决于进行移动的玩家。

此计算器有助于计算任何给定博弈状态的尼姆值，从而深入了解玩家的最佳策略。