样本相关系数R计算器

样本相关系数 (R) 是一种统计量度，用于确定两个变量之间线性关系的强度和方向。其取值范围为 -1 到 1，其中 -1 表示完全负相关，1 表示完全正相关，0 表示不相关。

历史背景

相关性的概念最早由弗朗西斯·高尔顿爵士在 19 世纪后期提出。他试图测量不同变量之间的关系，最终导致他的学生卡尔·皮尔逊发展出相关系数。皮尔逊积差相关系数如今广泛用作“样本相关系数”。

计算公式

两组数据 \(X\) 和 \(Y\) 之间的样本相关系数 (R) 使用以下公式计算：

\[ R = \frac{n\sum{XY} - \sum{X}\sum{Y}}{\sqrt{\left(n\sum{X^2} - (\sum{X})^2\right) \left(n\sum{Y^2} - (\sum{Y})^2\right)}} \]

其中：

• \(n\) 是数据点的数量。
• \(\sum{X}\) 和 \(\sum{Y}\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 值的和。
• \(\sum{XY}\) 是对应 \(X\) 和 \(Y\) 值乘积的和。
• \(\sum{X^2}\) 和 \(\sum{Y^2}\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 值平方的和。

示例计算

考虑两个数据集：

• \(X = [1, 2, 3, 4]\)
• \(Y = [2, 4, 6, 8]\)

逐步计算：

1. \(\sum{X} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)
2. \(\sum{Y} = 2 + 4 + 6 + 8 = 20\)
3. \(\sum{XY} = (1 \times 2) + (2 \times 4) + (3 \times 6) + (4 \times 8) = 60\)
4. \(\sum{X^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30\)
5. \(\sum{Y^2} = 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 120\)
6. 应用公式：

\[ R = \frac{4(60) - (10)(20)}{\sqrt{(4(30) - (10)^2) \cdot (4(120) - (20)^2)}} = 1 \]

这表明完全正相关。

重要性和应用场景

• 数据分析: 它通常用于测量金融、生物学和社会科学等领域中不同变量之间的关系。
• 预测建模: 在预测分析中，相关性有助于评估哪些变量可能对其他变量具有预测能力。
• 实验研究: 帮助科学家确定受控实验中变量之间关系的强度。

常问问题

1. R 的良好取值是多少？ 接近 1 或 -1 的值表示强相关，而接近 0 的值表示弱相关或不相关。

2. R 能大于 1 或小于 -1 吗？ 不能，R 始终介于 -1 和 1 之间。

3. 高度相关是否意味着因果关系？ 不，相关性并不意味着因果关系。它仅表明两个变量一起变化。