矢量叉积计算器

向量叉积，又称为向量积或叉积，是三维空间中对两个向量的二元运算。它的效果是生成一个垂直于两个相乘向量的向量，因此垂直于包含它们的平面。

历史背景

向量叉积的概念是 19 世纪作为矢量微积分的一部分引入的。它是物理和工程学中描述旋转效应、磁场和电场以及三维物体方向的关键工具。

计算公式

两个向量 \(\mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k}\) 的叉积表示为：

\[\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k}\]

示例计算

对于向量 \(\mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k}\)，叉积为：

\[\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k}\]

重要性和使用场景

向量叉积广泛应用于物理学和工程学中，用于确定力矩，带电粒子上的磁力和许多其他需要确定由两个向量定义的平面垂直向量的应用。

常见问题解答

1. 叉积告诉我们什么？

   • 叉积提供有关构成两个向量的平面垂直向量的信息。它的幅度与向量跨越的平行四边形的面积成正比。

2. 叉积是否为可交换的？

   • 不，叉积不可交换。\(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) 不等于 \(\mathbf{B} \times \mathbf{A}\)；事实上，\(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A})\)。